Ранг матрицы.

Определение.

Рангом системы строк (столбцов) называется максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой системы.

Теорема.

Ранг системы строк матрицы равен её рангу системы столбцов.

Определение.

Рангом матрицы A называется ранг её системы строк или столбцов.

Обычно ранг матрицы A обозначается rank(A) или rang(A)

Свойства матрицы связанные с рангом

Ранг матрицы не изменится, если к ее строкам (столбцам) применить элементарные преобразования.
Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.

Методы вычисления ранга матрицы

Метод элементарных преобразований

Используя свойства матрицы связанные с ее рангом, получен метод расчета ранга наиболее часто использующийся на практике.

Метод 1.

Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования над строками и столбцами матрицы.

Метод окаймления миноров

Теорема.

Ранг матрицы равен наибольшему порядку не равного нулю минора.

Метод 2.

Если в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. Если среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, то вся процедура повторяется.

Пример.

Вычислить ранг матрицы A, где

A =	4	2	0	1
	2	1	2	3
	0	3	10	1
	4	2	4	6

Решение:

От 1-ой строки отнимем 2-ую умноженную на 2, от 4-той отнимем 2-ую умноженную на 2

4	2	0	1	~	0	0	-4	-5	~
2	1	2	3		2	1	2	3
0	3	10	1		0	3	10	1
4	2	4	6		0	0	0	0

Поменяем местами строки

~	2	1	2	3
	0	3	10	1
	0	0	-4	-5
	0	0	0	0

полученная матрица есть является ступенчатой, значит rank(A) = 3.

Ответ: rank(A) = 3.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!