Элементарные преобразования матрицы.

Определение.

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц, то есть, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Элементарными преобразованиями строк называют:

перестановку местами любых двух строк матрицы;
умножение на ненулевую константу любой строки матрицы;
прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на ненулевое число.

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

Определение.

Матрицы A и B называют эквивалентными матрицами если от матрицы A к матрице B перешли с помощью элементарных преобразований над строками и обозначают A ~ B.

Примеры на элементарные преобразования матрицы

Пример 1.

Используя элементарные преобразования строк преобразовать матрицу A в верхнюю треугольную матрицу, где

A =	4	2	0
	1	3	2
	-1	3	10

Решение:

поменяем первую и вторую строку местами

4	2	0	~	1	3	2	~
1	3	2		4	2	0
-1	3	10		-1	3	10

ко 2-рой строке прибавим 1-вую, умноженную на -4; к третей строке прибавим первую

~	1	3	2	~	1	3	2	~
	4 + (-4)·1	2 + (-4)·3	0 + (-4)·2		0	-10	-8
	-1 + 1	3 + 3	10 + 2		0	6	12

2-рую строку поделим на -2, третью строку делим на 6

~	1	3	2	~	1	3	2	~
	0	-10/(-2)	-8/(-2)		0	5	4
	0	6/6	12/6		0	1	2

поменяем вторую и третью строку местами

~	1	3	2	~
	0	1	2
	0	5	4

к 3-тей строке прибавим 2-рую, умноженную на -5

~	1	3	2	~	1	3	2
	0	1	2		0	1	2
	0	5 + (-5)·1	4 + (-5)·2		0	0	-6

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!