Умножение матриц.

Определение.

Результатом умножения матриц A_m×n и B_n×k будет матрица C_m×k такая, что элемент матрицы C, стоящий в i-той строке и j-том столбце (c_ij), равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B:

c_ij = a_i1 · b_1j + a_i2 · b_2j + ... + a_in · b_nj

Замечание.

Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Свойства умножения матриц

(A · B) · C= A · (B · C) - произведение матриц ассоциативно;
(z · A) · B= z · (A · B), где z - число;
A · (B + C) = A · B + A · C - произведение матриц дистрибутивно;
E_n · A_nm = A_nm · E_m= A_nm - умножение на единичную матрицу;
A · B ≠ B · A - в общем случае произведение матриц не коммутативно.
Произведением двух матриц есть матрица, у которой столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов, сколько их у правого сомножителя.

Примеры задач на умножение матриц

Пример 1.

Найти матрицу C равную произведению матриц A =		4	2		и B =		3	1		.
		9	0				-3	4

Решение:

С = A · B =		4	2		·		3	1		=		6	12
		9	0				-3	4				27	9

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁ = 4·3 + 2·(-3) = 12 - 6 = 6

c₁₂ = a₁₁·b₁₂ + a₁₂·b₂₂ = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12

c₂₁ = a₂₁·b₁₁ + a₂₂·b₂₁ = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27

c₂₂ = a₂₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂ = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9

Пример 2

Найти матрицу C равную произведению матриц A =

	2	1
	-3	0
	4	-1

и B =

	5	-1	6
	-3	0	7

Решение:

C = A · B =

	2	1
	-3	0
	4	-1

	5	-1	6
	-3	0	7

7	-2	19
-15	3	-18
23	-4	17

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁ = 2·5 + 1·(-3) = 10 - 3 = 7

c₁₂ = a₁₁·b₁₂ + a₁₂·b₂₂ = 2·(-1) + 1·0 = -2 + 0 = -2

c₁₃ = a₁₁·b₁₃ + a₁₂·b₂₃ = 2·6 + 1·7 = 12 + 7 = 19

c₂₁ = a₂₁·b₁₁ + a₂₂·b₂₁ = (-3)·5 + 0·(-3) = -15 + 0 = -15

c₂₂ = a₂₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂ = (-3)·(-1) + 0·0 = 3 + 0 = 3

c₂₃ = a₂₁·b₁₃ + a₂₂·b₂₃ = (-3)·6 + 0·7 = -18 + 0 = -18

c₃₁ = a₃₁·b₁₁ + a₃₂·b₂₁ = 4·5 + (-1)·(-3) = 20 + 3 = 23

c₃₂ = a₃₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂ = (4)·(-1) + (-1)·0 = -4 + 0 = -4

c₃₃ = a₃₁·b₁₃ + a₃₂·b₂₃ = 4·6 + (-1)·7 = 24 - 7 = 17

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!