Обратная матрица.

Обратная матрица A⁻¹ — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A^-1 = A^-1·A = E

Обратная матрица существует только для квадратных матриц определитель которых не равен нулю.

●	det(A-1) =  1 det(A)
●	(A·B)-1 = A-1·B-1
●	(A-1)T = (AT)-1
●	(kA)-1 =  A-1 k
●	(A-1)-1 = A

Если справа к квадратной матрице дописать единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками преобразовать полученную матрицу так, чтобы начальная матрица стала единичной, то матрица полученная из единичной будет обратной матрицей к исходной.

Если при преобразованиях в левой части матрицы образуется нулевая строка (столбец), то исходная матрица не имеет обратной матрицы.

Найти обратную матрицу матрицы A

A =		2	4	1
		0	2	1
		2	1	1

Решение: Приписываем к матрице A справа единичную матрицу третьего порядка:

A|E =		2	4	1	1	0	0		~
		0	2	1	0	1	0
		2	1	1	0	0	1

Преобразуем левую часть полученной матрицы в единичную. Для этого от 3-тей строки отнимем 1-ую строку:

~		2	4	1	1	0	0		~
		0	2	1	0	1	0
		2 - 2	1 - 4	1 - 1	0 - 1	0 - 0	1 - 0

~		2	4	1	1	0	0		~
		0	2	1	0	1	0
		0	-3	0	-1	0	1

Третью строку поделим на (-3) и поменяем местами со второй строкой:

~		2	4	1	1	0	0		~
		0	2	1	0	1	0
		0	1	0	1/3	0	-1/3

~		2	4	1	1	0	0		~
		0	1	0	1/3	0	-1/3
		0	2	1	0	1	0

Отнимем он 1-ой строки 2-ую умноженную на 4; от 3-тей строки 2-ую умноженную на 2:

~		2 - 4·0	4 - 4·1	1 - 4·0	1 - 4·(1/3)	0 - 4·0	0 - 4·(-1/3)		~
		0	1	0	1/3	0	-1/3
		0 - 2·0	2 - 2·1	1 - 2·0	0 - 2·1/3	1 - 2·0	0 - 2·(-1/3)

~		2	0	1	-1/3	0	4/3		~
		0	1	0	1/3	0	-1/3
		0	0	1	-2/3	1	2/3

Отнимем он 1-ой строки 3-ую строку:

~		2 - 0	0 - 0	1 - 1	-1/3 - (-2/3)	0 - 1	4/3 - 2/3		~
		0	1	0	1/3	0	-1/3
		0	0	1	-2/3	1	2/3

~		2	0	0	1/3	-1	2/3		~
		0	1	0	1/3	0	-1/3
		0	0	1	-2/3	1	2/3

Разделим 1-ую строку на 2:

~		1	0	0	1/6	-1/2	1/3
		0	1	0	1/3	0	-1/3
		0	0	1	-2/3	1	2/3

Ответ: A-1 =		1/6	-1/2	1/3
		1/3	0	-1/3
		-2/3	1	2/3

Матрица Ã, элементы которой равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы A называется союзной матрицей.

A-1 =	1	ÃT
	det(A)

Найти обратную матрицу матрицы A

A =		2	4	1
		0	2	1
		2	1	1

Решение: Найдем определитель матрицы A:

det(A) =	2	4	1	=
	0	2	1
	2	1	1

= 2·2·1 + 4·1·2 + 1·0·1 - 1·2·2 - 2·1·1 - 4·0·1 = 4 + 8 + 0 - 4 - 2 - 0 = 6

Найдем алгебраические дополнения матрицы A:

A11 = (-1)1 + 1·	2	1	= 2·1 - 1·1 = 1
	1	1

A12 = (-1)1 + 2·	0	1	= -(0·1 - 1·2) = 2
	2	1

A13 = (-1)1 + 3·	0	2	= 0·1 - 2·2 = -4
	2	1

A21 = (-1)2 + 1·	4	1	= -(4·1 - 1·1) = -3
	1	1

A22 = (-1)2 + 2·	2	1	= 2·1 - 1·2 = 0
	2	1

A23 = (-1)2 + 3·	2	4	= -(2·1 - 4·2) = 6
	2	1

A31 = (-1)3 + 1·	4	1	= 4·1 - 1·2 = 2
	2	1

A32 = (-1)3 + 2·	2	1	= -(2·1 - 1·0) = -2
	0	1

A33 = (-1)3 + 3·	2	4	= 2·2 - 4·0 = 4
	0	2

Запишем союзную матрицу:

à =		1	2	-4
		-3	0	6
		2	-2	4

Найдем обратную матрицу:

A-1 =  1 ÃT  =  1 det(A) 6

1 -3 2 2 0 -2 -4 6 4

=

1/6 -1/2 1/3 1/3 0 -1/3 -2/3 1 2/3

Ответ: A-1 =		1/6	-1/2	1/3
		1/3	0	-1/3
		-2/3	1	2/3