Минор и алгебраическое дополнение матрицы.

Пример 1.

Найти миноры матрицы A

A =	5 7 1 -4 1 0 2 0 3

Решение:

M11 =

5 7 1 -4 1 0 2 0 3

=

1 0 0 3

M11 =

1 0 0 3

= 1·3 - 0·0 = 3 - 0 = 3

M12 =

-4 0 2 3

= -4·3 - 0·2 = -12 -0 = -12

M13 =

-4 1 2 0

= -4·0 - 1·2 = 0 - 2 = -2

M21 =

7 1 0 3

= 7·3 - 1·0 = 21 - 0 = 21

M22 =

5 1 2 3

= 5·3 - 1·2 = 15 - 2 = 13

M23 =

5 7 2 0

= 5·0 - 7·2 = 0 - 14 = -14

M31 =

7 1 1 0

= 7·0 - 1·1 = 0 - 1 = -1

M32 =

5 1 -4 0

= 5·0 - 1·(-4) = 0 + 4 = 4

M33 =

5 7 -4 1

= 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Свойства алгебраического дополнения матрицы

• Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам этой строки (столбца) равна определителю матрицы:

  n
  Σ	aij·Aij = det(A)
  j = 1

• Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равна нулю:

  n
  Σ	akj·Aij = 0           (i ≠ k)
  j = 1

• Сумма произведений элементов "произвольной" строки на алгебраические дополнения к элементам i-той строки определителя равна определителю, в котором вместо i-той строки записана "произвольная" строка.

Пример 2.

Найти алгебраические дополнения матрицы A

A =	5 7 1 -4 1 0 2 0 3

Решение:

A11 = (-1)1 + 1·M11 = (-1)2·

1 0 0 3

= 1·3 - 0·0 = 3 - 0 = 3

A12 = (-1)1 + 2·M12 = (-1)3·

-4 0 2 3

= -(-4·3 - 0·2) = -(-12 -0) = 12

A13 = (-1)1 + 3·M13 = (-1)4·

-4 1 2 0

= -4·0 - 1·2 = 0 - 2 = -2

A21 = (-1)2 + 1·M21 = (-1)3·

7 1 0 3

= -(7·3 - 1·0) = -(21 - 0) = -21

A22 = (-1)2 + 2·M22 = (-1)4·

5 1 2 3

= 5·3 - 1·2 = 15 - 2 = 13

A23 = (-1)2 + 3·M23 = (-1)5·

5 7 2 0

= -(5·0 - 7·2) = -(0 - 14) = 14

A31 = (-1)3 + 1·M31 = (-1)4·

7 1 1 0

= 7·0 - 1·1 = 0 - 1 = -1

A32 = (-1)3 + 2·M32 = (-1)5·

5 1 -4 0

= -(5·0 - 1·(-4)) = -(0 + 4) = -4

A33 = (-1)3 + 3·M33 = (-1)6·

5 7 -4 1

= 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33