Сумма кубов

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности: a³ + b³ = (a + b)·(a² - ab + b²)

Для доказательства справедливости формулы суммы кубов достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:

(a + b)·(a² - ab + b²) =

= a³ - a²b + ab² + ba² - ab² + b³ = a³ + b³

Формулу суммы кубов удобно использовать:

• для разложения на множители
• для упрощения выражений

Разложить на множители x³ + 27.

Решение:

x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3)·(x² - 3x + 9)

Разложить на множители 8x³ + 27y⁶.

Решение:

8x³ + 27y⁶ = (2x)³ + (3y²)³ =

= (2x + 3y²)·(4x² - 6xy² + 9y⁴)

Упростить выражение 27x³ + 13x + 1.

Решение:

Можно заметить, что для выражения в числителе можно применить формулу суммы кубов

27x³ + 13x + 1 = (3x + 1)·(9x² - 3x +1)3x + 1 = 9x² - 3x +1