Куб суммы

Куб суммы двух выражений равен кубу первого, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго выражения, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения и первого выражения, плюс куб второго выражения: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Для доказательства справедливости формулы куба суммы достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:

(a + b)³ = (a + b)·(a + b)² =

= (a + b)·(a² + 2ab + b²) =

= a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2b²a + b³ =

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Формулу куба суммы удобно использовать:

• для раскрытия скобок
• для упрощения выражений

Раскрыть скобки (x + 3)³.

Решение:

(x + 3)³ = x³ + 3·3·x² + 3·3²·x + 3³ =

= x³ + 9x² + 27x + 27

Раскрыть скобки (2x + 3y²)³.

Решение:

(2x + 3y²)³ =

= (2x)³ + 3·(2x)²·(3y²) + 3·(2x)·(3y²)² + (3y²)³ =

= 8x³ + 36x²y² + 54xy⁴ + 27y⁶

Упростить выражение 27x³ + 27x² + 9x +19x² + 6x + 1.

Решение:

Можно заметить, что выражение в числителе - это разложенный куб суммы, а в знаменателе - квадрат суммы

27x³ + 27x² + 9x +19x² + 6x + 1 = (3x + 1)³(3x + 1)² = 3x + 1