Куб разности

Куб разности двух выражений равен кубу первого, минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго выражения, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения и первого выражения, минус куб второго выражения: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Для доказательства справедливости формулы куба разности достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:

(a - b)³ = (a - b)·(a - b)² =

= (a - b)·(a² - 2ab + b²) =

= a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2b²a - b³ =

= a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Формулу куба разности удобно использовать:

• для раскрытия скобок
• для упрощения выражений

Раскрыть скобки (x - 3)³.

Решение. Для решения воспользуемся формулой куба разности:

(x - 3)³ = x³ - 3·3·x² + 3·3²·x - 3³ =

= x³ - 9x² + 27x - 27

Раскрыть скобки (2x - 3y²)³.

Решение. Для решения воспользуемся формулой куба разности:

(2x - 3y²)³ =

= (2x)³ - 3·(2x)²·(3y²) + 3·(2x)·(3y²)² - (3y²)³ =

= 8x³ - 36x²y² + 54xy⁴ - 27y⁶

Упростить выражение 27x³ - 27x² + 9x - 19x² - 6x + 1.

Решение:

Можно заметить, что выражение в числителе - это разложенный куб разности, а в знаменателе - квадрат разности

27x³ - 27x² + 9x - 19x² - 6x + 1 = (3x - 1)³(3x - 1)² = 3x - 1