Разность кубов

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы: a³ - b³ = (a - b)·(a² + ab + b²)

Для доказательства справедливости формулы разности кубов достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:

(a - b)·(a² + ab + b²) =

= a³ + a²b + ab² - ba² - ab² - b³ = a³ - b³

Формулу разности кубов удобно использовать:

• для разложения на множители
• для упрощения выражений

Разложить на множители x³ - 27.

Решение:

x³ - 27 = x³ - 3³ = (x - 3)·(x² + 3x + 9)

Разложить на множители 8x³ - 27y⁶.

Решение:

8x³ - 27y⁶ = (2x)³ - (3y²)³ =

= (2x - 3y²)·(4x² + 6xy² + 9y⁴)

Упростить выражение 27x³ - 13x - 1.

Решение:

Можно заметить, что для выражения в числителе можно применить формулу разности кубов

27x³ - 13x - 1 = (3x - 1)·(9x² + 3x +1)3x - 1 = 9x² + 3x +1