Векторное произведение векторов.

Определение. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c (рис. 1).

рис. 1

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

a × b =	i	j	k	= i(a_yb_z - a_zb_y) - j(a_xb_z - a_zb_x) + k(a_xb_y - a_yb_x)
	a_x	a_y	a_z
	b_x	b_y	b_z

a × b = {a_yb_z - a_zb_y; a_zb_x - a_xb_z; a_xb_y - a_yb_x}

Свойства векторного произведения векторов

Геометрический смысл векторного произведения.
Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:
S_парал = [a × b]
Геометрический смысл векторного произведения.
Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

SΔ = 1 |a × b|
2
Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.
Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.
a × b = -b × a
(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
(a + b) × c = a × c + b × c

Примеры задач на вычисления векторного произведения векторов

Пример 1. Найти векторное произведение векторов a = {1; 2; 3} и b = {2; 1; -2}.

Решение:

a × b =	i	j	k	=
	1	2	3
	2	1	-2

= i(2 · (-2) - 3 · 1) - j(1 · (-2) - 2 · 3) + k(1 · 1 - 2 · 2) =

= i(-4 - 3) - j(-2 - 6) + k(1 - 4) = -7i + 8j - 3k = {-7; 8; -3}

Пример 2. Найти площадь треугольника образованного векторами a = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}.

Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:

a × b =	i	j	k	=
	-1	2	-2
	2	1	-1

= i(2 · (-1) - (-2) · 1) - j((-1) · (-1) - (-2) · 2) + k((-1) · 1 - 2 · 2) =

= i(-2 + 2) - j(1 + 4) + k(-1 - 4) = -5j - 5k = {0; -5; -5}

Из свойств векторного произведения:

SΔ =	1	\|a × b\| =	1	√0² + 5² + 5² =	1	√25 + 25 =	1	√50 =	5√2
	2		2		2		2		2

Ответ: SΔ = 2.5√2.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!