Угол между векторами.

Определение. Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Основное соотношение. Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.

Формула вычисления угла между векторами

cos α =	a·b
	\|a\|·\|b\|

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Пример 1. Найти угол между векторами a = {3; 4} и b = {4; 3}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

|a| = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √4² + 3² = √16 + 9 = √25 = 5

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	24	=	24	= 0.96
	\|a\| · \|b\|		5 · 5		25

Пример 2. Найти угол между векторами a = {7; 1} и b = {5; 5}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

|a| = √7² + 1² = √49 + 1 = √50 = 5√2
|b| = √5² + 5² = √25 + 25 = √50 = 5√2

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	40	=	40	=	4	= 0.8
	\|a\| · \|b\|		5√2 · 5√2		50		5

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Пример 3. Найти угол между векторами a = {3; 4; 0} и b = {4; 4; 2}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

|a| = √3² + 4² + 0² = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √4² + 4² + 2² = √16 + 16 + 4 = √36 = 6

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	28	=	14
	\|a\| · \|b\|		5 · 6		15

Пример 4. Найти угол между векторами a = {1; 0; 3} и b = {5; 5; 0}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

|a| = √1² + 0² + 3² = √1 + 9 = √10
|b| = √5² + 5² + 0² = √25 + 25 = √50 = 5√2

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	5	=	1	=	√5	= 0.1√5
	\|a\| · \|b\|		√10 · 5√2		2√5		10

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!