Линейно зависимые и линейно независимые вектора.

Определение. Линейной комбинацией векторов a₁, ..., a_n с коэффициентами x₁, ..., x_n называется вектор

x₁a₁ + ... + x_na_n.

Определение. Линейная комбинация x₁a₁ + ... + x_na_n называется тривиальной, если все коэффициенты x₁, ..., x_n равны нулю.

Определение. Линейная комбинация x₁a₁ + ... + x_na_n называется нетривиальной, если хотябы один из коэффициентов x₁, ..., x_n не равен нулю.

Определение. Вектора a₁, ..., a_n называются линейно независимыми, если не существует нетривиальной комбинации этих векторов равной нулевому вектору.

Тоесть вектора a₁, ..., a_n линейно независимы если x₁a₁ + ... + x_na_n = 0 тогда и только тогда, когда x₁ = 0, ..., x_n = 0.

Определение. Вектора a₁, ..., a_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация этих векторов равная нулевому вектору.

Свойства линейно зависимых векторов:

Для 2-х и 3-х мерных векторов.
Два линейно зависимые вектора - коллинеарные. (Коллинеарные вектора - линейно зависимы.) .
Для 3-х мерных векторов.
Три линейно зависимые вектора - компланарные. (Три компланарные вектора - линейно зависимы.)
Для n -мерных векторов.
n + 1 вектор всегда линейно зависимы.

Примеры задач на линейную зависимость и линейную независимость векторов:

Пример 1. Проверить будут ли вектора a = {3; 4; 5}, b = {-3; 0; 5}, c = {4; 4; 4}, d = {3; 4; 0} линейно независимыми.

Решение:

Вектора будут линейно зависимыми, так как размерность векторов меньше количества векторов.

Пример 2. Проверить будут ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1} линейно независимыми.

Решение: Найдем значения коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору.

x₁a + x₂b + x₃c₁ = 0

Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений

	x₁ + x₂ = 0
	x₁ + 2x₂ - x₃ = 0
	x₁ + x₃ = 0

Решим эту систему используя метод Гаусса

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	1

из второй строки вычтем первую; из третей строки вычтем первую:

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0		0	-1	1

из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую:

~	1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0	~	1	0	1
	0	1	-1	0		0	1	-1
	0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0		0	0	0

Данное решение показывает, что система имеет множество решений, то есть существует не нулевая комбинация значений чисел x₁, x₂, x₃ таких, что линейная комбинация векторов a, b, c равна нулевому вектору, например:

-a + b + c = 0

а это значит вектора a, b, c линейно зависимы.

Ответ: вектора a, b, c линейно зависимы.

Пример 3. Проверить будут ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 2} линейно независимыми.

x₁a + x₂b + x₃c₁ = 0

Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений

	x₁ + x₂ = 0
	x₁ + 2x₂ - x₃ = 0
	x₁ + 2x₃ = 0

Решим эту систему используя метод Гаусса

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	2

из второй строки вычтем первую; из третей строки вычтем первую:

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0		0	-1	2

из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую:

~	1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0	~	1	0	1	~
	0	1	-1	0		0	1	-1
	0 + 0	-1 + 1	2 + (-1)	0 + 0		0	0	1

из первой строки вычтем третью; к второй строке добавим третью:

~	1 - 0	0 - 0	1 - 1	0 - 0	~	1	0	0
	0 + 0	1 + 0	-1 + 1	0 + 0		0	1	0
	0	0	1	0		0	0	1

Данное решение показывает, что система имеет единственное решение x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 0, а это значит вектора a, b, c линейно независимые.

Ответ: вектора a, b, c линейно независимые.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!