Направляющие косинусы вектора.

Определение направляющих косинусов

Определение. Направляющие косинусы вектора a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.

Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора.

Основное соотношение. Чтобы найти направляющие косинусы вектора a необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.

Соответственно координатам единичного вектора равны его направляющим косинусам.

Свойство направляющих косинусов. Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

В случае плоской задачи (рис. 1) направляющие косинусы вектора a = {a_x ; a_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой

cos α =	a_x	;	cos β =	a_y
	\|a\|			\|a\|

Свойство:

cos

² α + cos² β = 1

рис. 1

В случае пространственной задачи (рис. 2) направляющие косинусы вектора a = {a_x ; a_y ; a_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой

cos α =	a_x	;	cos β =	a_y	;	cos γ =	a_z
	\|a\|			\|a\|			\|a\|

Свойство:

cos² α + cos² β + cos² γ = 1

рис. 2

Пример 1. Найти направляющие косинусы вектора a = {3; 4}.

Решение:

Найдем модуль вектора a:
|a| = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5.

Найдем направляющие косинусы вектора a:

cos α =	a_x	=	3	= 0.6
	\|a\|		5

cos β =	a_y	=	4	= 0.8
	\|a\|		5

Ответ: направляющие косинусы вектора cos α = 0.6, cos β = 0.8.

Пример 2. Найти значение векора a если его длина равна 26, а направляющие косинусы cos α = 5/13, cos β = -12/13.

Решение:

a_x = |a| · cos α = 26 · 5/13 = 10
a_y = |a| · cos β = 26 · (-12/13) = -24

Ответ: a = {10; -24}.

Пример 3. Найти направляющие косинусы вектора a = {2; 4; 4}.

Решение:

Найдем модуль вектора a:
|a| = √2² + 4² + 4² = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.

Найдем направляющие косинусы вектора a:

cos α =	a_x	=	2	=	1
	\|a\|		6		3

cos β =	a_y	=	4	=	2
	\|a\|		6		3

cos γ =	a_z	=	4	=	2
	\|a\|		6		3

Ответ: направляющие косинусы вектора cos α = 13, cos β = 23, cos γ = 23.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!