Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Определение.

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если s = {m; n; p} - направляющий вектор прямой l, M₁(x₁, y₁, z₁) - точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M₀(x₀, y₀, z₀) до прямой l можно найти, используя формулу

d =	\|M₀M₁×s\|
	\|s\|

Вывод формулы вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если задано уравнение прямой l то несложно найти s = {m; n; p} - направляющий вектор прямой и M₁(x₁, y₁, z₁) - координаты точки лежащей на этой прямой. Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах

S = |M₀M₁×s|.

С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту проведенную к этой стороне

S = |s|d.

В нашем случае высота будет равна расстоянию от точки до плоскости d, а сторона параллелограмма равна модулю направляющего вектора s.

Приравняв площади несложно получить формулу расстояния от точки до прямой.

Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой в пространстве

Пример 1.

Найти расстояние между точкой M(0, 2, 3) и прямой

x - 3	=	y - 1	=	z + 1
2	=	1	=	2

Решение.

Из уравнения прямой получим:

s = {2; 1; 2} - направляющий вектор прямой;
M₁(3; 1; -1) - точка лежащая на прямой.

Тогда

M₀M₁ = {3 - 0; 1 - 2; -1 - 3} = {3; -1; -4}

M₀M₁×s =	i	j	k	=
	3	-1	-4
	2	1	2

= i ((-1)·2 - (-4)·1) - j (3·2 - (-4)·2) + k (3·1 -(-1)·2) = {2; -14; 5}

d =	\|M₀M₁×s\|	=	√2² + (-14)² + 5²	=	√225	=	15	= 5
	\|s\|		√2² + 1² + 2²		√9		3

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 5.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!