Угол между прямой и плоскостью.

Определение.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Формула вычисления угла между прямой и плоскостью

Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L

s = {l; m; n}

и уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0,

то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу

sin φ =	\| A · l + B · m + C · n \|
	√A² + B² + C² · √l² + m² + n²

Из уравнения прямой можно найти направляющий вектор прямой

s = {l; m; n}

Из уравнения плоскости вектор нормали плоскости имеет вид

q = {A; B; C}

Из формул скалярного произведения векторов найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой

cos ψ =	\| q · s \|
	\| s \| · \|q \|

Так как φ = 90° - ψ, то синус угла между прямой и плоскостью sin φ = cos ψ.

Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.

Пример 1.

Найти угол между прямой

x - 4	=	y + 2	= -	z - 6
2	=	6	= -	3

и плоскостью x - 2y + 3z + 4 = 0.

Решение.

Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой

s = {2; 6; -3}

Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости

q = {1; -2; 3}

Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью

sin φ =	\| 2 · 1 + 6 · (-2) + (-3) · 3 \|	=
	√2² + 6² + (-3)² · √1² + (-2)² + 3²

sin φ =	\| 2 - 12 - 9 \|	=	19	=	19
	√4 + 36 + 9 · √1 + 4 + 9		√49 · √14		7√14

Ответ:

sin φ =	19
	7√14

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!