Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны):

АВ = ВС = СD = AD

2. Его диагонали пересекаются под прямым углом:

AC┴BD

3. Одна из диагоналей (бисектрисса) делит содержащие её углы пополам:

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

4. Если все высоты равны:

BN = DL = BM = DK

5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

6. Если в параллелограмм можно вписать круг.

1. Имеет все свойства параллелограмма

2. Диагонали перпендикулярны:

AC┴BD

3. Диагонали являются биссектрисами его углов:

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на четыре:

AC² + BD² = 4AB²

5. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии ромба.

6. В любой ромб можно вписать окружность.

7. Центром окружности вписанной в ромб будет точка пересечения его диагоналей.

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

a =	S
	ha

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

a =	√S
	√sinα

a =	√S
	√sinβ

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

a =	S
	2r

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

a =	√d12 + d22
	2

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла (cos α) или косинус тупого угла (cos β):

a =	d1
	√2 + 2 cosα

a =	d2
	√2 - 2 cosβ

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

a =	d1
	2cos(α/2)

a =	d1
	2sin(β/2)

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

a =	d2
	2cos(β/2)

a =	d2
	2sin(α/2)

8. Формула стороны ромба через периметр:

a =	Р
	4

1. Формулы большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d₁ = a√2 + 2 · cosα

d₁ = a√2 - 2 · cosβ

2. Формулы малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d₂ = a√2 + 2 · cosβ

d₂ = a√2 - 2 · cosα

3. Формулы большой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d₁ = 2a · cos(α/2)

d₁ = 2a · sin(β/2)

4. Формулы малой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d₂ = 2a · sin(α/2)

d₂ = 2a · cos(β/2)

5. Формулы диагоналей ромба через сторону и другую диагональ:

d₁ = √4a² - d₂²

d₂ = √4a² - d₁²

6. Формулы диагоналей через тангенс острого tgα или тупого tgβ угла и другую диагональ:

d₁ = d₂ · tg(β/2)

d₂ = d₁ · tg(α/2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

d1 =	2S
	d2

d2 =	2S
	d1

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

d1 =	2r
	sin(α/2)

d2 =	2r
	sin(β/2)

Формула периметра ромба через сторону ромба:

P = 4a

1. Формула площади ромба через сторону и высоту:

S = a · h_a

2. Формула площади ромба через сторону и синус любого угла:

S = a² · sinα

3. Формула площади ромба через сторону и радиус:

S = 2a · r

4. Формула площади ромба через две диагонали:

S =	1	d1d2
	2

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

S =	4r2
	sinα

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла (tgα) или малую диагональ и тангенс тупого угла (tgβ):

S =	1	d12 · tg(α/2)
	2

S =	1	d22 · tg(β/2)
	2

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

r =	h
	2

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

r =	S
	2a

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

r =	√S · sinα
	2

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

r =	a · sinα
	2

r =	a · sinβ
	2

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

r =	d1 · sin(α/2)
	2

r =	d2 · sin(β/2)
	2

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

r =	d1 · d2
	2√d12 + d22

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

r =	d1 · d2
	4a