Логарифм числа.

Логарифмом числа
b
по основанию
a
называется показатель степени, в которую надо возвести основание a
, чтобы получилось число b
.

Обозначение:
log_a b
.

Читаем: "логарифм от
b
по основанию
a
".

Нахождение логарифма равносильно решению показательного уравнения:

Показательное уравнение:

a^x=b,

при условии a>0; a≠1; b>0, где

x — показатель степени,

a — основа степени,

b — степень числа a.

Логарифмическое уравнение:

log_a b=x,

при условииa>0; a≠1; b>0,где

x — логарифм числа b

по основанию a,

a — основа логарифма,

b — число, которое стоит

под знаком логарифма.

Примеры:

2⁵=32 ⇔ 5= log₂ 32;

3⁴=81 ⇔ 4= log₃ 81;

log_1/5 125=-3 ⇔

⇔ (1/5)^-3=125;

log₂ (1/16)=-4 ⇔

⇔ 2^-4=1/16;

Основное логарифмическое тождество:

a ^log_a b= b,

при условии a>0; a≠1; b>0.

3^log₃ 7= 7,

3 ^-log₃ 7= 1/3 ^log₃ 7=1/7,

4 ^log₂ 7= 2 ^2log₂ 7=(2 ^log₂ 7)²=7²,

2 ^1+log₂ 7=2·2 ^log₂ 7= 2·7=14,

Десятичным логарифмом числа b называется логарифм числа b по основанию 10 .

Обозначение: lg b =log₁₀ b .

Свойство: 10^{lg b} =b .

Примеры:

lg 10 =log₁₀ 10=1;

lg 100 =log₁₀ 100= log₁₀ 10²=2 log₁₀ 10=2·1=2;

lg 1000 =log₁₀ 1000= log₁₀ 10³=3 log₁₀ 10=3·1=3;

lg 0,1 =log₁₀ 0,1= log₁₀ 10^-1=-1 log₁₀ 10=-1;

lg 0,01 =log₁₀ 0,01= log₁₀ 10^-2=-2 log₁₀ 10=-2·1=-2;

lg 0,001 =log₁₀ 0,001= log₁₀ 10^-3=-3 log₁₀ 10=-3·1=-3.

**Свойства логарифмов**
log_b *b =1* , *b>0,* *b≠1,* *поскольку* *b¹=b. Логарифм числа по том же положительном (* *b>0* *) отличным от нуля основании (* *b≠1* *) равен единицы 1.* Примеры: log₁₀ *10 =1;* log_1/3 *1/3 =1;* log₇ *x=1, отсюда x=7;*
log_a *1 =0 ,* *a>0,* *a≠1,* *поскольку* *a⁰=1. Логарифм единицы 1 по любому положительному (* *a>0* *) отличныму* *от нуля* ( *a≠1* ) *основанию равен нулю 0.* Примеры: log₁₉ *1 =0;* log₆ *x =0, отсюда* *x=1;*
log_a(bc)= log_a *b +* log_a *c ,* *b>0, c>0,a>0,a≠1, — логарифм произведения.* *Логарифм произведения равен сумме логарифмов.* Примеры: lg *18 =lg (6·3)= lg 6 +* lg 3; lg *50 +* lg *2 =lg (50·2) =lg 100=2;*
log_a(b/c)= log_a *b —* log_a *c ,* *b>0, c>0,a>0,a≠1, — логарифм дроби (частного).* *Логарифм частного равен разности логарифмов числителя и знаменателя.* Примеры: log₄ *4/7 =log₄ 4 –* log₄ *7 =* =1 – log₄ 7; log₃ *5 –* log₃ *5/27 =* =log₃ *(5: 5/27) =* log₃ *27 = 3;*
log_abⁿ= n· log_a b, *b>0,a>0,a≠1, — логарифм степени,* log_ab^1/ⁿ= 1/n· log_a b, *b>0,a>0,a≠1.* *Логарифм степени равен произвидению показателя и логарифма основания.* Примеры: log₄ *64 =* log₄ *4³ = 3·* log₄ *4 = 3·1* *= 3 ;* lg *16 =* lg *2⁴ = 4·* lg 2 ; lg √*343 =* lg √*7³ =* lg *7^3/2* *= 3/2·* lg 7 ; 11· lg *x =* lg *x¹¹*;
log_a^mb =1/m · log_a b, *b>0,a>0,a≠1,* log_a^mbⁿ=n/m · log_a b, *b>0,a>0,a≠1,* Примеры: log₂₅2= log_5²*2= 1/2·* log ₅ 2; log_√77= log_7^1/27= 1/(1/2)· log₇ 7= 2· log₇ 7= 2·1=2; log_3^1/23^3/2= (3/2)/(1/2)· log₃ 3= 3· log₃ 3= 3·1=3;
log_a *b =1/* log_b a; log_a *b =* log_c *b /* log_c a; — переход к новому основанию Примеры: log₆*11 ·* log₁₁6= log₆*11 · 1/* log₆*11=* 1; log₇*3 ·* log₃5= log₇3· (log₇5/ log₇3)= log₇5; — переход к новому основанию

Логарифмированием называется нахождение логарифмов заданных чисел или выражений

**Логарифмирование**
*Прологарифмировать выражения по произвольному основанию a .*
Используем правило: *логарифм произведения.*	*1) x= 3abc;* log_ax= log_a3+ log_aa+ log_ab+ log_ac.
Используем правила: *логарифм произведения, логарифм частного (дроби).*	*2) x= ab/4;* log_ax= log_aa+ log_ab- log_ac.
Используем правила: *логарифм произведения, логарифм степени.*	*3) x= 2m⁸n⁶;* log_ax= log_a2+ 8log_am+ 6log_an.

Потенцированием называется нахождение чисел (выражения) по заданому логарифму числа (выражения).

**Потенцирование**
*Пропотенцировать выражение и найти х .*
Сумму логарифмов заменим: *логарифмом произведения:*	1) lgx= lg2+ logm+ lgn; lgx= lg2mn; *x= 2mn.*
Запишем правило, обратное *логарифму степени и частного:*	2) lgx= 5 lga- 7 lgb; lgx= lga⁵- lgb⁷; *x= a⁵/b⁷.*

Логарифмы.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!